Christoph Wassner, Stefan Krauss, Laura Martignon
MAX-PLANCK-INSTITUT FÜR BILDUNGSFORSCHUNG, BERLIN
FORSCHUNGSBEREICH ADAPTIVES VERHALTEN UND KOGNITION

Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein?

"Statistisches Denken wird eines Tages genauso wichtig sein für eine aufgeklärte Gesellschaft wie die Fähigkeit zu lesen und zu schreiben".
     H.G. Wells

Stochastik wird heute der axiomatischen Grundlegung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs von Kolmogorow folgend gelehrt. Dabei wird oft vergessen, dass die Stochastik eine Mittlerrolle zwischen der exakten Welt der Mathematik und dem ungewissen "Reich des Zufalls" (Gigerenzer et al., 1999) spielt. Das mathematische Konzept zur Erfassung des Phänomens "Zufall" kann als eine fundamentale Idee der Mathematik betrachtet werden. Jedoch muss deutlich bleiben, dass die Qualität der mathematisch möglichen Aussagen über den Zufall eine andere ist als die der bewiesenen Aussagen, die sonst in Mathematik üblich sind. Wenn das Lehren von mathematisch-stochastischen Gegenständen und Werkzeugen zu tatsächlichem Verstehen der Erscheinungen von "Zufall" in der Lebensumwelt der Schüler führen soll, müssen zunächst richtige, intuitive Vorstellungen beim Schüler gefördert werden. Im Folgenden unterbreiten wir einen didaktischen Vorschlag zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeiten / Satz von Bayes, der diesen Punkt auf besondere Weise berücksichtigt.

Exkurs: Besondere Relevanz der bedingten Wahrscheinlichkeit
"Der Satz von Bayes ist die wichtigste Rechenregel der Wahrscheinlichkeitstheorie".
         D.V. Lindley

Einer Einteilung von Bea (1995) folgend, wollen wir aus drei verschiedenen Blickwinkeln auf die Bedeutung von bedingten Wahrscheinlichkeiten hinweisen:
Aus fachdidaktischer Perspektive stellt die bedingte Wahrscheinlichkeit eine absolute Notwendigkeit für das tiefere Verständnis von statistischer Inferenz dar, unwichtig ob von einer subjektivistischen oder objektivistischen Wahrscheinlichkeitsinterpretation ausgegangen wird. Prinzipiell bestehen zwei grundsätzlich verschiedene Verfahrensweisen zur statistischen Inferenz: Neben "klassischen" Signifikanztestverfahren gibt es "bayessche" Testverfahren, die es erlauben, die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese unter der Bedingung der gefundenen Daten zu berechnen. Auch Signifikanz läßt sich als eine bedingte Wahrscheinlichkeit ausdrücken: Ist ein Ergebnis z.B. auf dem 1%-Niveau signifikant, heißt das, dass die Wahrscheinlichkeit der gefundenen (oder noch unwahrscheinlicherer) Daten kleiner als 1% ist, unter der Bedingung, dass die Nullhypothese stimmt. Welches Inferenzverfahren also auch verwendet wird, das Ergebnis stellt immer eine bedingte Wahrscheinlichkeit dar (ausführlich dazu: Krauss & Wassner, eingereicht). Da zudem Statistik das universitär meist gelehrteste Fach ist  und hierbei der Inferenzstatistik höchste Bedeutung zukommt, besteht verstärkte Notwendigkeit, das grundlegende Konzept "Bedingte Wahrscheinlichkeit" mit den Schülern der allgemeinbildenden Schulen ausführlich zu behandeln (Krauss & Wassner, im Druck).
Auch in Alltagssituationen ist Denken, das sich auf bedingte Wahrscheinlichkeiten gründet, oft erforderlich. Der Satz von Bayes z.B. erlaubt es, eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wenn bedingtes und bedingendes Ereignis vertauscht werden müssen. Gerade dieser Kausalitätswechsel wird sehr häufig benötigt, wenn Entscheidungen unter Unsicherheit und Risiko zu treffen sind. In vielen Berufen spielen solche Folgerungen aus vorliegenden Daten ständig eine Rolle, z.B. bei medizinischen Diagnosen (Gigerenzer & Hoffrage, 1995), bei gerichtlichen Urteilen (Krauss & Hertwig, eingereicht), bei wirtschaftlichen Entscheidungen (Camerer, 1999). Dasselbe gilt für den "mündigen Bürger", der tagtäglich mit Medieninformationen konfrontiert ist.
Eine eher negativ-herausragende Stellung nehmen bedingte Wahrscheinlichkeiten aus kognitionspsychologischer Sicht ein, da in diesem Zusammenhang eine Vielzahl von  kognitiven Täuschungen erforscht wurde. Im Buch "Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases" fassten die Psychologen Kahneman, Slovic und Tversky (1982) eine Reihe solcher Denktäuschungen zusammen. Dem Credo dieses Buches zufolge gehorcht menschliches Denken nicht den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie, sondern häufig einfacheren, irreführenden Heuristiken, die fehlerhafte Urteile erzeugen können. Bea (1995) systematisiert die wichtigsten Probleme beim "Denken in bedingten Wahrscheinlichkeiten" wie folgt:
Typische Problembereiche im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten:
1. Verwechslung von Konditionalität und Kausalität, besonders bei zeitlich verschobenen Ereignissen (z.B. Falk, 1988)
2. Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit (z.B. Pollatsek et al., 1987)
3. Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis, also P(A/B) mit P(B/A) (z.B. Sherman et al., 1992; Krauss & Wassner, im Druck: speziell bei Signifikanztests)
4. Schwierigkeiten bei der exakten Definition des bedingenden Ereignisses (z.B. beim "Ziegenproblem", Shaughnessy, 1992)
5. Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis für bedingte Wahrscheinlichkeiten, komplizierte Formulierung, wenig intuitive oder ungewohnte Aufgabenstellung, zu viel numerische Information, ungewohnte Ereignisse usw.

Gibt es didaktische Werkzeuge zur Überwindung dieser Probleme? Falls nicht, ergäben sich didaktische Folgerungen für den Unterricht: Da der Mensch sowieso tiefgehende Probleme beim Umgang mit dem "Zufall" hat, sollte es das Hauptziel sein, dass er die mathematisch verifizierten Gesetze wenigstens kennt und anwenden lernt, unabhängig von einem subjektiv-intuitiven Verständnis. Das führt aber zur Behinderung von selbstständigem Denken, also zu genau den beklagten Missständen in der derzeitigen Bildung unserer Schüler und darf nicht unser Ziel sein. Wir wollen zeigen, daß neueste Forschungsergebnisse aus der Kognitionspsychologie einen Weg aus dem Dilemma weisen können.

Ein Stolperstein für die Intuition: Der Satz von Bayes
"Ich hoffe, daß irgendwann Darstellungen der bayesschen Regel gefunden werden, die den recht verstandenen Ansprüchen der Schule und der Lehrerausbildung genügen".
       H. Dinges

 Zur Darlegung unserer Vorschläge betrachten wir den Satz von Bayes, der innerhalb dieses Themengebiets unserer Meinung nach grundlegend ist und als didaktisch problematisch gilt. In diesem Zusammenhang können besonders auffallende kognitive Illusionen (z.B. Ziegenproblem) festgestellt werden. Da oben genannte Probleme verstärkt auftreten, ist hier - entgegen momentaner Bedeutung in Lehrplänen - ein intuitives didaktisches Konzept von großer Wichtigkeit.
Der Satz von Bayes findet typischerweise bei Aufgaben wie der folgenden Verwendung (z.B. Schmid & Schweizer, LS Stochastik Leistungskurs, 1988):
In einer Bevölkerung sind durchschnittlich 0,1% aller Personen Tbc-krank. Ein medizinischer Test zur Tbc-Erkennung zeigt in 95% aller Fälle eine vorliegende Erkrankung an; bei Gesunden zeigt der Test in 4% der Fälle aber irrtümlich eine Erkrankung an. Wir betrachten eine zufällig gewählte Person, die auf den Test positiv reagiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie tatsächlich Tbc? Die Bayes-Formel liefert:

Durch die Fehlerquellen des Tests bedingt, haben überraschenderweise nur rund 2% der Personen, die beim Test positiv reagieren, auch tatsächlich Tbc.
 Die Autoren nennen das Ergebnis der Aufgabe "überraschend". Schüler sollten aber, wie wir meinen, mit "überraschenden" Ergebnissen nicht alleine gelassen werden. Vielmehr muß versucht werden über die Überraschung hinaus zu einer echten Einsicht zu kommen. Wir wollen genau analysieren, was die allgemeine Struktur dieser "überraschenden bayesschen Situationen" ist, denn das Nachdenken über Situationen gehört wesentlich zum stochastischen Denken.
Was wir (und also die Schüler) zur mathematischen Verarbeitung dieser Situation mit dem Satz von Bayes benötigen, ist eine Menge Vorverständnis: grundsätzlich den axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff und eine mengentheoretische Vorstellung von Wahrscheinlichkeit, die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit (vollständigerweise müssten auch für die bedingte Wahrscheinlichkeit die Kolmogorow-Axiome nachgewiesen werden), den Produktsatz und den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Erst jetzt kann man sich mit diesen mathematischen Werkzeugen den Satz von Bayes ableiten. Es ist zu befürchten (und in der Praxis scheint genau das ein Problem zu sein), dass der Lernende, der das erste Mal mit derlei Denkweise konfrontiert ist, diese Abstraktionsleistung nicht bewältigt. Das Verständnis für die Formel, die intuitive Vorstellung bleibt dabei auf der Strecke. Dass die mit dieser Formel erreichten Ergebnisse sich einer naiven Intuition entziehen und "überraschend" wirken können, scheint nicht verwunderlich. Was bleibt, ist nach gewisser Übung mit derlei Aufgaben ein routinehaftes, fast mechanisches Einsetzen der in Wahrscheinlichkeiten kodierten Information in die auswendig gelernte Formel. Das führt zwar zu richtigen Ergebnissen, aber niemals zum wahren Verstehen der "Idee" dieser Formel: Die Ergebnisse werden erstaunlich und unverstanden bleiben.
Um die intuitive Vorstellung der Ergebnisse mit dem Satz von Bayes zu fördern, geben didaktische Ansätze meist Empfehlungen für eine Visualisierung, z.B. Vierfeldertafel und umgekehrtes Baumdiagramm (Strick, 1999), Kombination aus Baum- und Venn-Diagramm (Tomlinson & Quinn, 1997), Einheitsquadrat (Bea, 1995). Unbestritten ist, daß sich z.B. mit Baumdiagrammen die möglichen Ereignisse in diesem mehrstufigen Zufallsexperiment besonders übersichtlich notieren lassen und allgemeine Regeln (z.B. Produktsatz als Pfadregel) besser verstanden werden können. Betrachten wir nun die Visualisierungsmöglichkeiten mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsbaumes anhand folgender Variante der Diagnoseaufgabe:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau  Brustkrebs hat, beträgt 1%. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Krankheit mit einer Mammografie erkannt wird, wenn sie vorliegt, beträgt 80%. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mammografie fälschlicherweise auf Brustkrebs hinweist, obwohl die Krankheit gar nicht vorliegt, beträgt 10%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 40-jährige, symptomfreie Frau tatsächlich Brustkrebs hat, wenn sie einen positiven Mammografiebefund  erhalten hat?
Man würde nun mit dem Satz von Bayes folgendes Ergebnis berechnen:    (insert formula 2) = 7,5%

Dieses Ergebnis scheint im Hinblick auf den offensichtlich recht guten Test wiederum verblüffend. Der zur Aufgabe gehörige Wahrscheinlichkeitsbaum ist:

Führen wir uns vor Augen, was dem Schüler von einem Wahrscheinlichkeitsbaum abverlangt wird: Die Informationen aus dem Aufgabentext, also die Wahrscheinlichkeiten P(B) = 0,01, P(M+/B) = 0,8 und P(M+/B-) = 0,1 müssen als solche erkannt, kodiert und richtig im Baumdiagramm notiert werden. Die "fehlenden" Wahrscheinlichkeiten müssen ergänzt werden (über die Verzweigungsregel). Der Satz von Bayes kann nun folgendermaßen abgeleitet werden: Die Definition für die bedingte Wahrscheinlichkeit
P(B/M+) = P(B&M+)  / P(M+)
muß erinnert (bereits vorher eingeführt) und mit den entsprechenden Symbolen besetzt werden. Zähler und Nenner müssen nun weiter aufgelöst werden:
Zähler: Aus der 1. Pfadregel (entspricht dem Produktsatz) ergibt sich für
P(B&M+) = P(B) * P(M+/B) = 0,01 * 0,8.
Nenner: Analog gilt für P( B-/M+) = P(B-) * P(M+/B-). Aus der 2. Pfadregel (entspricht dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) erhält man dann: P(M+) = P(B/M+) + P(B-/M+) = P(B) * P(M+/B) +  P(B-) * P(M+/B-) = 0,01 * 0,8 + 0,99 * 0,1.
Also ergibt sich die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit aus dem Baumdiagramm zu: P(B/M+) = 0,075 = 7,5%.
Mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes zur Repräsentation der algorithmisch-strukturellen Eigenschaften der Situation können die einzelnen Rechenschritte nachvollzogen werden. Warum die Wahrscheinlichkeit für die Krankheit nach einem positiven Test aber nur 7,5% beträgt, bleibt weiterhin im Dunkeln. Bisher didaktisch kaum beachtet wurde nämlich, dass nicht nur die Repräsentation der algorithmisch-strukturellen Eigenschaften, sondern auch die Repräsentation der gegebenen Information eine entscheidende Rolle bei der kognitiven Verarbeitung spielt.

Information braucht Repräsentation

Algorithmen im menschlichen Denken scheinen Präferenzen für spezielle Formen der Repräsentation zu haben. Nach psychologischen Theorien über Gedächtnis und Aufmerksamkeit gehören z.B. Häufigkeiten zu den wenigen Informationen, die automatisch registriert werden, d.h. ohne bewußte Intention und ohne Interferenz mit anderen kognitiven Prozessen (Hasher & Zacks, 1979: "automatic frequency processing"). Diesen Überlegungen zufolge ist die Frage nach der Qualität eines mentalen Algorithmus nicht von der Art und Weise der Repräsentation der Informationen zu trennen: Algorithmen verarbeiten Information, und Information braucht Repräsentation. Für stochastische Informationen haben wir z.B. folgende Repräsentationsformate:
-  Wahrscheinlichkeiten als Prozentangaben (z.B. 40%)
-  Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen (z.B. 0,4)
-  Wahrscheinlichkeiten als ganze Brüche (relative Häufigkeiten, z.B. 4/10 )
-  Wahrscheinlichkeiten als absolute Häufigkeiten (z.B. 4 von 10)
-  Wahrscheinlichkeiten als Chancen - Verhältnisse (z.B. 4 : 6)

Wir werden im Folgenden zeigen, dass die Wahl verschiedener Repräsentationsformate entscheidende Effekte auf das statistische Denken hat. Unser Konzept basiert dabei auf der Erfahrung, dass "natürliche" Algorithmen für statistisches Denken auf Informationen in absoluten Häufigkeiten aufbauen, da diese den Strukturen realer Umweltinformationen entsprechen ("...in 8 von 20 Fällen..."). Da eine Wahrscheinlichkeit in der Form "40%" oder "0,4" nicht so einfach "real erkennbar" ist, sind unsere inneren Algorithmen auf solche Informationen weniger gut eingestellt (Gigerenzer, 1993).
Demzufolge leicht zu verarbeitende Informationen bei obiger Krebsdiagnoseaufgabe wären also etwa für P(B) "...in 10 von 1000 Fällen...", für P(M+/B) "...bei 8 von 10..." bzw. für P(M+/B-) "...bei  99 von 990...". Die Aufgabe in "Häufigkeitsrepräsentation" lautet dann:
10 von 1000 40-jährigen, symptomfreien Frauen haben Brustkrebs. Bei 8 von den 10 Frauen, die tatsächlich Brustkrebs haben, wird die Krankheit mit einer Mammografie auch erkannt. Bei 99 von den 990 Frauen, die keinen Brustkrebs haben, weist die Mammografie fälschlicherweise dennoch auf das Vorliegen von Brustkrebs hin. Wie viele der 40-jährigen, symptomfreien Frauen, die einen positiven Mammografiebefund erhalten haben, haben auch tatsächlich Brustkrebs?
Die richtige Antwort lautet hier: "8 von 107". P(B/M+) kann nun direkt als Quotient der Mächtigkeiten von Ereignisräumen, also von Mengen, bestimmt werden. Der Zähler dieses Quotienten ist  /B&M+/ =  8, und der Nenner ist /M+/ = /B&M+/ + /B- & M+/= 8 + 99 = 107.
Daraus folgt dann: P(B*M+) = 8/107 = 7,5%.
Benutzt man zur Visualisierung wieder Baumdiagramme, wird das vormals verblüffende Ergebnis "sichtbar" :

Im Gegensatz zum Wahrscheinlichkeitsbaum kann man das wesentliche Problem der Aufgabe hier einfach verstehen. Man sieht: Obwohl die Krankheit bei "sehr vielen" der tatsächlich kranken Frauen mit der Mammografie auch erkannt wird (bei 8 von 10) und nur bei "sehr wenigen" der gesunden Frauen fälschlich diagnostiziert wird (bei 99 von 990), gibt es trotzdem viel mehr gesunde Frauen (99) als kranke (8) mit positiver Mammografie. Offensichtlich wird auch der Grund, nämlich dass es ganz einfach "grundsätzlich viel mehr" Gesunde (990) als Kranke (10) gibt. Der Widerspruch zwischen Mathematik und Intuition ist so "repariert".

Welche Eigenschaften dieser Häufigkeitsvisualisierung sind besonders vorteilhaft für das Verstehen des Satzes von Bayes?
1. Natürlichkeitsargument. In der Natur beobachten wir Mengen von Entitäten bzw. deren Teilmengen (z.B. von Aspekten wie etwa Männer mit Brille), d.h., wir zählen (oder schätzen) die Mächtigkeiten dieser Mengen. Der Häufigkeitsbaum zeigt auch diesen hierarchischen Mengen-Teilmengen-Zusammenhang. Probleme treten erst auf, wenn diese natürlichen Eigenschaften in bedingten Wahrscheinlichkeiten kommuniziert werden, denen man aufgrund der Normierung die Größe der Grundgesamtheit nicht mehr ansieht (Krauss, Martignon & Hoffrage, 1999). Erst jetzt kann es überhaupt zu dem häufigen Fehler der Missachtung der Basisrate ("base rate neglect", Kahneman & Tversky, 1973) kommen, weil der in der Häufigkeitsversion "automatische Transport" der Basisrate wegnormiert wird.
2. Übersetzungsargument. Durch mathematische Abstraktion entsteht der Begriff der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. In diesem Modell eines Wahrscheinlichkeitsraumes (W, P) können deduktiv aus dem axiomatischen Fundament Regeln und schließlich Ergebnisse erhalten werden. Doch eignet sich dieses Modell nur dann zur Beschreibung einer Zufallssituation, wenn Ergebnisse aus dem Modell mit tatsächlichen Häufigkeiten der realen Situation hinreichend oft annähernd übereinstimmen. Durch die Rückkopplung mit der Realität kann man prüfen, ob das Modell passt. Die Bedeutung des vom Modell gefundenen Ergebnisses für eine reale Situation ist dem Schüler oft nur schwer plausibel zu machen. Es ist nützlich, wenn Wahrscheinlichkeiten aus dem Modell in "reale Fälle" übersetzen werden können. Für die Diagnoseaufgabe bedeutet dies: Der Schüler könnte sich fragen, was es eigentlich bedeutet, wenn eine Frau bei positivem Test mit 7,5% Wahrscheinlichkeit Brustkrebs hat. Schließlich gibt es "in der Realität" nur Frauen mit oder ohne Brustkrebs. Ein in der Häufigkeitsversion erlangtes Ergebnis der Form "8 von 107" kann die Bedeutung dieser Wahrscheinlichkeit erhellen.
Die zu erbringende Übersetzungsleistung von Wahrscheinlichkeiten in absolute Häufigkeiten und umgekehrt trägt zum weiteren Grundverständnis des Begriffs der Wahrscheinlichkeit bei. Die erforderliche Rückkopplung Modell-Realität wird weiter geübt. Unverständlich ist, wieso diese Rückkopplungen nach der Abstraktion des Begriffs der Wahrscheinlichkeit meist als nicht mehr notwendig aufgegeben werden .
3. Einfachheitsargument. Bei der Berechnung mit "Wahrscheinlichkeitsbäumen" müssen, wie bereits oben dargestellt, mehrere Regeln kombiniert werden. Beim Häufigkeitsbaum läßt sich die Antwort aus zwei "Endknoten" ablesen. In gewisser Weise klammert die Häufigkeitsdarstellung zunächst die schwer zu verstehende Inversion (aus P(A/B) soll etwas über P(B/A) ausgesagt werden) im Satz von Bayes aus. Im Wahrscheinlichkeitsbaum besteht diese Inversion darin, dass der Baum zunächst bis zu den Blättern aufzubauen ist (Verzweigungsregel), dann die Äste wieder zur Wurzel zurückzuverfolgen sind (1. Pfadregel) und schließlich gewisse Blätter zusammenzufassen sind (2. Pfadregel). Die Idee der Inversion wird dabei oft nicht genügend betont und verschwindet durch die Vielzahl der nötigen Operationen, wodurch der Sinn der Formel von Bayes unerkannt bleibt. Untersuchungen mit Studenten (Gigerenzer & Hoffrage, 1995) und Resultate von Schülerbefragungen (eigene Studie, unveröff. Manuskript) zeigten dieses Problem nur allzu häufig. Wir halten es für sinnvoll, zunächst die Struktur der Situation vom Prozess der mathematischen Abstraktion zu trennen. So entsteht beim Schüler schrittweise tiefere Einsicht in die Mathematisierung einer Situation, deren hohe Lebensbedeutung ihm erst klargemacht werden muß. Leider stellen wir immer wieder fest, dass diese Tatsache im Unterricht nicht gewürdigt und auch von den Lehrenden nicht richtig erkannt wird.
4. Sequenzargument. Allgemein bietet das Baumdiagramm gegenüber anderen graphischen Modellen (Vierfeldertafel, Einheitsquadrat, andere Mengendarstellungen) die Möglichkeit, die einfließenden Informationen mehrstufig, in einer hierarchisch-sequentiellen Art darzustellen. Für Anwendungssituationen des Satzes von Bayes erweist sich dieser Vorteil als sehr verständnisfördernd. Häufigkeitsbäume im Besonderen erlauben das sequentielle Erleben der Wahrscheinlichkeitsrevision und zeigen den Einfluss der Informationen auf das Gesamtergebnis von Baumebene zu Baumebene. Das Modell "rechnet" quasi selbst mit.

Schlussbemerkung

Selbstverständlich ist für eine weiterführende Anwendung der Theorie um bedingte Wahrscheinlichkeiten unbestritten auch die mathematische Abstraktion nötig. Wir halten es jedoch für ratsam, möglichst lange auf die Formalisierung zu verzichten, wenn man die intuitiven Vorstellungen beim Schüler fördern will. Verständnis wird schwerlich über abstrakte Formeln, sondern verstärkt über geeignete sprachliche und graphische Darstellungen sowie einfache Informationsformate erreicht. Das Häufigkeitskonzept ist ein geeigneter Zugang für bedingte Wahrscheinlichkeit (insbesondere den Satz von Bayes) und lässt sich darüber hinaus auf weitere Bereiche der Wahrscheinlichkeitsrechnung übertragen, wie z.B. auf Aufgaben zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Sedlmeier, 1998).
Es liegen bereits empirische Ergebnisse vor, die belegen, dass bayessche Aufgaben in der Häufigkeitsform von Versuchspersonen deutlich besser gelöst werden als die in Schulbüchern üblichen Aufgaben in Wahrscheinlichkeitsform (Gigerenzer & Hoffrage, 1995; vgl. auch Tab.1). Im Übrigen scheint dieser Erfolg nicht nur eine kurzfristige Adaption einer einfacheren Strategie zu sein. Wer das Häufigkeitskonzept einmal verstanden hat, ist auch nach längerer Zeit noch in der Lage, eine bayessche Aufgabe richtig zu lösen. Selbst wenn eine Aufgabe nun in Wahrscheinlichkeitsform präsentiert wird, wird sie von den meisten Versuchspersonen in das Häufigkeitsformat übersetzt (Sedlmeier, 1997).

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Abbildungen/Tabellen:

Abbildung 1: Baumdiagramm zur Diagnose-Aufgabe, übliche Version

Abbildung 2: Baumdiagramm zur Diagnose-Aufgabe, Version mit absoluten Häufigkeiten

Tabelle 1: Verwendung falscher mathematischer Kalküle bei bayesschen Standardaufgaben und Verbesserung der Performanz durch Häufigkeitsformate, Studie mit Medizinstudenten und Ärzten. Quelle: Hoffrage, Gigerenzer (eingereicht): How to Foster Diagnostic Insight in Experts, S.15.
 

Korrespondenz:

Christoph Wassner, Max-Planck-Institut für Bildungsforschung, Lentzeallee 94, 14195 Berlin.
Tel: 030 - 82406 416, email: wassner@mpib-berlin.mpg.de
Homepage ABC-Schulprojekt: http://www-abc.mpib-berlin.mpg.de/users/wassner/